Může být problém ve třídě složitosti NP, pokud existuje nedeterministický Turingův stroj, který jej vyřeší v polynomiálním čase
Otázka "Může být problém ve třídě složitosti NP, pokud existuje nedeterministický Turingův stroj, který jej vyřeší v polynomiálním čase?" dotýká se základních pojmů v teorii výpočetní složitosti. Abychom tuto otázku řešili komplexně, musíme zvážit definice a charakteristiky třídy složitosti NP a roli nedeterministických Turingových strojů (NDTM).
Definice NP
Třída NP (nedeterministický polynomiální čas) se skládá z rozhodovacích problémů, u kterých lze dané řešení ověřit jako správné nebo nesprávné v polynomiálním čase pomocí deterministického Turingova stroje (DTM). Formálně je rozhodovací problém v NP, pokud existuje polynomiální-časový ověřovací algoritmus, který může ověřit správnost daného certifikátu (nebo svědka) pro instanci problému.
Nedeterministické Turingovy stroje
Nedeterministický Turingův stroj je teoretický model výpočtu, který rozšiřuje možnosti deterministického Turingova stroje. Na rozdíl od DTM, který sleduje jedinou výpočetní cestu definovanou svou přechodovou funkcí, může NDTM sledovat více výpočetních cest současně. V každém kroku si NDTM může „vybrat“ ze sady možných přechodů a efektivně prozkoumat mnoho možných výpočtů paralelně.
Polynomiálně-časová řešitelnost pomocí NDTM
O problému se říká, že je řešitelný pomocí NDTM v polynomiálním čase, pokud existuje nedeterministický algoritmus, který dokáže najít řešení problému v řadě kroků, které jsou polynomické ve velikosti vstupu. To znamená, že pro jakýkoli případ problému může NDTM prozkoumat výpočetní cestu, která vede k řešení v polynomiálním čase.
Vztah mezi NP a NDTM
Třídu NP lze ekvivalentně definovat z hlediska NDTM. Konkrétně, rozhodovací problém je v NP tehdy a pouze tehdy, když existuje NDTM, který může vyřešit problém v polynomiálním čase. Tato ekvivalence vyplývá ze skutečnosti, že NDTM může odhadnout certifikát nedeterministicky a poté jej deterministicky ověřit v polynomiálním čase.
Abychom to ilustrovali na příkladu, zvažte dobře známý NP-úplný problém, booleovský problém splnitelnosti (SAT). Daný booleovský vzorec v konjunktivní normální formě (CNF) má za úkol určit, zda existuje přiřazení pravdivostních hodnot k proměnným, které činí vzorec pravdivým. NDTM může řešit SAT v polynomiálním čase nedeterministickým uhodnutím přiřazení pravdivostních hodnot a následnou deterministickou kontrolou, zda zadání splňuje vzorec. Ověřovací krok, který zahrnuje vyhodnocení vzorce pod uhodnutým zadáním, lze provést v polynomiálním čase.
Důsledky polynomiálně-časové řešitelnosti pomocí NDTM
Vzhledem k výše uvedeným definicím a ekvivalenci mezi NP a polynomiálně-časovou řešitelností pomocí NDTM můžeme dojít k závěru, že pokud existuje NDTM, který řeší problém v polynomiálním čase, pak je problém skutečně v NP. Je to proto, že existence takového NDTM implikuje, že pro tento problém existuje polynomiální-časový ověřovací algoritmus. Fáze nedeterministického hádání NDTM odpovídá generování certifikátu a fáze deterministického ověřování odpovídá algoritmu ověřování v polynomiálním čase.
Další úvahy a příklady
Abychom tento koncept dále objasnili, uvažujme o dalších příkladech problémů v NP a jejich vztahu s NDTM:
1. Problém hamiltonovské cesty: Daný graf se problém Hamiltonian Path ptá, zda existuje cesta, která navštíví každý vrchol právě jednou. NDTM může tento problém vyřešit v polynomiálním čase nedeterministickým uhodnutím posloupnosti vrcholů a poté ověřením, zda posloupnost tvoří platnou hamiltonovskou cestu. Ověřovací krok zahrnuje kontrolu sousedství po sobě jdoucích vrcholů a zajištění toho, že každý vrchol je navštíven právě jednou, přičemž obojí lze provést v polynomiálním čase.
2. Problém podmnožiny součtu: Daná množina celých čísel a cílový součet se problém Součet podmnožin ptá, zda existuje podmnožina celých čísel, která se sčítají k cíli. NDTM může tento problém vyřešit v polynomiálním čase nedeterministickým uhodnutím podmnožiny celých čísel a poté ověřením, zda se součet podmnožiny rovná cíli. Ověřovací krok zahrnuje sečtení prvků uhádnuté podmnožiny, což lze provést v polynomiálním čase.
3. Problém zbarvení grafu: Daný graf a určitý počet barev se problém zbarvení grafu ptá, zda je možné obarvit vrcholy grafu tak, aby žádné dva sousední vrcholy neměly stejnou barvu. NDTM může tento problém vyřešit v polynomiálním čase nedeterministickým přiřazením barev k vrcholům a následným ověřením, zda je zabarvení platné. Ověřovací krok zahrnuje kontrolu barev sousedních vrcholů, což lze provést v polynomiálním čase.
Závěr
Ve světle poskytnutých definic a příkladů je jasné, že problém může skutečně být ve třídě složitosti NP, pokud existuje nedeterministický Turingův stroj, který jej vyřeší v polynomiálním čase. Tento vztah je základním kamenem teorie výpočetní složitosti a podtrhuje ekvivalenci mezi polynomiálně-časovou řešitelností pomocí NDTM a členstvím ve třídě NP.
Další nedávné otázky a odpovědi týkající se Komplexita:
- Není třída PSPACE rovna třídě EXPSPACE?
- Je třída složitosti P podmnožinou třídy PSPACE?
- Můžeme dokázat, že Np a P třída jsou stejné tím, že najdeme efektivní polynomické řešení pro jakýkoli NP úplný problém na deterministické TM?
- Může se třída NP rovnat třídě EXPTIME?
- Jsou v PSPACE problémy, pro které není znám žádný NP algoritmus?
- Může být problém SAT úplným problémem NP?
- NP je třída jazyků, které mají polynomiální časové verifikátory
- Jsou P a NP vlastně stejnou třídou složitosti?
- Je každý bezkontextový jazyk ve třídě složitosti P?
- Existuje rozpor mezi definicí NP jako třídy rozhodovacích problémů s polynomiálními verifikátory a skutečností, že problémy ve třídě P mají také polynomiální verifikátory?
Podívejte se na další otázky a odpovědi ve Složitosti