Jsou v PSPACE problémy, pro které není znám žádný NP algoritmus?
V oblasti teorie výpočetní složitosti, zejména při zkoumání tříd prostorové složitosti, je vztah mezi PSPACE a NP velmi zajímavý. Abych odpověděl přímo na otázku: ano, v PSPACE jsou problémy, pro které není znám žádný NP algoritmus. Toto tvrzení je zakořeněno v definicích a vztazích mezi těmito třídami složitosti.
PSPACE je třída rozhodovacích problémů, které lze vyřešit Turingovým strojem pomocí polynomiálního množství prostoru. Jinými slovy, problém je v PSPACE, pokud existuje algoritmus, který jej dokáže vyřešit pomocí množství paměti, které je polynomiální ve velikosti vstupu. Tato třída zahrnuje širokou škálu problémů, z nichž některé jsou poměrně složité a zahrnují složité výpočetní procesy.
NP, na druhé straně, je třída rozhodovacích problémů, pro které může být navrhované řešení ověřeno v polynomiálním čase deterministickým Turingovým strojem. To znamená, že pokud vám někdo poskytne kandidátní řešení problému v NP, můžete rychle zkontrolovat správnost tohoto řešení, konkrétně v polynomiálním čase vzhledem k velikosti vstupu.
Vztah mezi těmito dvěma třídami je takový, že NP je podmnožinou PSPACE. Je to proto, že jakýkoli problém, který lze ověřit v polynomiálním čase, lze také vyřešit v polynomickém prostoru. Abyste pochopili proč, zvažte, že polynomiální ověřovač může číst pouze polynomiální počet bitů vstupu a navrhovaného řešení. Proto může být simulován strojem s polynomickým prostorem, který sleduje pozice, které přečetl, a operace, které provedl.
Není však známo, že by opak byl pravdivý; to znamená, že není známo, zda je PSPACE podmnožinou NP. Ve skutečnosti se obecně věří, že PSPACE obsahuje problémy, které nejsou v NP, ačkoli to nebylo formálně prokázáno. Toto přesvědčení je založeno na existenci problémů v PSPACE, jejichž řešení, jak se zdá, vyžaduje více než polynomiální čas, i když je lze vyřešit pomocí polynomiálního prostoru.
Jedním z kanonických příkladů problému v PSPACE, o kterém není známo, že je v NP, je problém QBF (Quantified Boolean Formula). QBF je zobecněním booleovského problému satisfiability (SAT), který je NP-úplný. Zatímco SAT se ptá, zda existuje přiřazení pravdivostních hodnot proměnným, které činí daný booleovský vzorec pravdivým, QBF zahrnuje vnořené kvantifikátory nad proměnnými, jako například "pro všechna x existuje nějaká taková, že vzorec je pravdivý." Přítomnost těchto kvantifikátorů činí QBF výrazně složitější. QBF je kompletní PSPACE, což znamená, že je stejně těžké jako jakýkoli jiný problém v PSPACE. Pokud by existoval NP algoritmus pro QBF, znamenalo by to, že NP se rovná PSPACE, což je výsledek, který by byl průlomový a je široce považován za nepravděpodobný.
Dalším názorným příkladem je problém určení vítěze v zobecněných hrách, jako jsou zobecněné verze šachu nebo Go, hrané na desce N x N. Tyto problémy zahrnují potenciálně exponenciální počet tahů a konfigurací, ale lze je rozhodnout pomocí polynomiálního prostoru systematickým prozkoumáním všech možných herních stavů. Tyto problémy jsou také PSPACE-úplné, což dále naznačuje existenci problémů v PSPACE, které nejsou v NP.
Chcete-li se hlouběji ponořit do toho, proč se má za to, že určité problémy v PSPACE jsou mimo NP, zvažte povahu výpočtů s omezeným prostorem oproti časově omezeným výpočtům. Polynomiální prostor umožňuje potenciálně exponenciální počet výpočetních kroků, pokud použitý prostor zůstane polynomiálně ohraničený. To je v příkrém rozporu s NP, kde je čas polynomiálně ohraničený. Exponenciální čas povolený polynomiálním prostorem lze využít k řešení problémů, které zahrnují vyčerpávající hledání v exponenciálně velkých prostorech, jako jsou ty, se kterými se setkáváme v QBF a zobecněných hrách.
Navíc existují složité teoretické konstrukty, které dále podporují rozdíl mezi PSPACE a NP. Například koncept střídání, který zavedli Chandra, Kozen a Stockmeyer, zobecňuje nedeterminismus a vede ke třídě AP (alternující polynomiální čas). Ukázalo se, že AP se rovná PSPACE, což poskytuje jiný pohled na sílu výpočtů polynomiálního prostoru. Alternace zahrnuje posloupnost existenciálních a univerzálních kvantifikátorů, které zrcadlí strukturu QBF, a předvádí složitost vlastní problémům PSPACE.
Za zmínku také stojí, že oddělení tříd složitosti je základní otevřenou otázkou teoretické informatiky. Slavný problém P vs NP je zvláštním případem tohoto širšího zkoumání. Stejně tak zůstává nevyřešena otázka, zda se NP rovná PSPACE. Nicméně konsensus v této oblasti, založený na rozsáhlé studii a povaze známých problémů, je, že PSPACE pravděpodobně obsahuje problémy, které nejsou v NP.
Existence problémů v PSPACE, pro které není znám žádný NP algoritmus, je podpořena definicemi a vztahy mezi těmito třídami složitosti, stejně jako konkrétními příklady, jako je QBF a zobecněné herní problémy. Tyto příklady zdůrazňují složité a potenciálně exponenciální výpočetní procesy, které mohou být řízeny v polynomiálním prostoru, ale je nepravděpodobné, že by byly omezeny na polynomiální čas, a tak je umisťují mimo oblast NP.
Další nedávné otázky a odpovědi týkající se Komplexita:
- Není třída PSPACE rovna třídě EXPSPACE?
- Je třída složitosti P podmnožinou třídy PSPACE?
- Můžeme dokázat, že Np a P třída jsou stejné tím, že najdeme efektivní polynomické řešení pro jakýkoli NP úplný problém na deterministické TM?
- Může se třída NP rovnat třídě EXPTIME?
- Může být problém SAT úplným problémem NP?
- Může být problém ve třídě složitosti NP, pokud existuje nedeterministický Turingův stroj, který jej vyřeší v polynomiálním čase
- NP je třída jazyků, které mají polynomiální časové verifikátory
- Jsou P a NP vlastně stejnou třídou složitosti?
- Je každý bezkontextový jazyk ve třídě složitosti P?
- Existuje rozpor mezi definicí NP jako třídy rozhodovacích problémů s polynomiálními verifikátory a skutečností, že problémy ve třídě P mají také polynomiální verifikátory?
Podívejte se na další otázky a odpovědi ve Složitosti