Může se třída NP rovnat třídě EXPTIME?
Otázka, zda se třída NP může rovnat třídě EXPTIME, se ponoří do základních aspektů teorie výpočetní složitosti. Pro komplexní řešení tohoto dotazu je nezbytné porozumět definicím a vlastnostem těchto tříd složitosti, vztahům mezi nimi a důsledkům takové rovnosti.
Definice a vlastnosti
NP (nedeterministický polynomický čas):
Třída NP se skládá z rozhodovacích problémů, u kterých lze dané řešení ověřit jako správné nebo nesprávné v polynomiálním čase deterministickým Turingovým strojem. Formálně je jazyk ( L ) v NP, pokud existuje polynomický verifikátor ( V ) a polynom ( p ) takový, že pro každý řetězec ( x v L ) existuje certifikát ( y ) s ( |y| leq p(|x|)) a (V(x, y) = 1).
EXPTIME (exponenciální čas):
Třída EXPTIME zahrnuje rozhodovací problémy, které lze vyřešit deterministickým Turingovým strojem v exponenciálním čase. Formálně je jazyk ( L ) v EXPTIME, pokud existuje deterministický Turingův stroj ( M ) a konstanta ( k ) taková, že pro každý řetězec ( x v L ) ( M ) rozhoduje ( x ) v čase ( O(2 ^{n^k}) ), kde ( n ) je délka ( x ).
Vztah mezi NP a EXPTIME
Abychom analyzovali, zda se NP může rovnat EXPTIME, musíme zvážit známé vztahy mezi těmito třídami a důsledky takové rovnosti.
1. Zadržování:
Je známo, že NP je obsažen v EXPTIME. Je to proto, že jakýkoli problém, který lze ověřit v polynomiálním čase (jako v NP), lze také vyřešit v exponenciálním čase. Specificky, nedeterministický polynomiální-časový algoritmus může být simulován deterministickým exponenciálním-časovým algoritmem. Proto ( text{NP} subseteq text{EXPTIME} ).
2. Oddělení:
Široce zastávaná víra v teorii složitosti je ta, že NP je přísně obsažen v EXPTIME, tj. ( text{NP} subsetneq text{EXPTIME} ). Tato víra pramení ze skutečnosti, že NP problémy jsou řešitelné v nedeterministickém polynomiálním čase, který je obecně považován za menší třídu než problémy řešitelné v deterministickém exponenciálním čase.
Důsledky NP = EXPTIME
Pokud by se NP rovnal EXPTIME, znamenalo by to několik hlubokých důsledků pro naše chápání výpočetní složitosti:
1. Polynomiální vs. exponenciální čas:
Rovnost ( text{NP} = text{EXPTIME} ) by naznačovala, že každý problém, který lze vyřešit v exponenciálním čase, lze také ověřit v polynomiálním čase. To by znamenalo, že mnoho problémů, o kterých se v současnosti předpokládá, že vyžadují exponenciální čas, by místo toho mohlo být ověřeno (a tedy potenciálně vyřešeno) v polynomiálním čase, což je v rozporu se současnými vírami v teorii složitosti.
2. Sbalení tříd složitosti:
Pokud by se NP rovnal EXPTIME, znamenalo by to také kolaps několika tříd složitosti. Například by to znamenalo, že ( text{P} = text{NP} ), protože NP-úplné problémy by byly řešitelné v polynomiálním čase. To by dále znamenalo, že ( text{P} = text{PSPACE} ), a potenciálně to vedlo ke kolapsu polynomiální hierarchie.
Příklady a další úvahy
Pro ilustraci důsledků zvažte následující příklady:
1. SAT (problém s uspokojením):
SAT je dobře známý NP-úplný problém. Pokud by se NP rovnal EXPTIME, znamenalo by to, že SAT lze vyřešit v deterministickém exponenciálním čase. Významněji by to znamenalo, že SAT lze ověřit v polynomiálním čase a tedy vyřešit v polynomiálním čase, což vede k ( text{P} = text{NP} ).
2. Šachy:
Problém určení, zda má hráč na dané šachové pozici vítěznou strategii, je známý v EXPTIME. Pokud by se NP rovnal EXPTIME, znamenalo by to, že takový problém lze ověřit v polynomiálním čase, což se v současnosti nepovažuje za možné.
Závěr
Otázka, zda se třída NP může rovnat třídě EXPTIME, je významná v teorii výpočetní složitosti. Na základě současných znalostí se předpokládá, že NP je přísně obsažen v EXPTIME. Důsledky NP rovného EXPTIME by byly hluboké, což by vedlo ke kolapsu několika tříd složitosti a zpochybnilo by naše současné chápání polynomiálního versus exponenciálního času.
Další nedávné otázky a odpovědi týkající se Komplexita:
- Není třída PSPACE rovna třídě EXPSPACE?
- Je třída složitosti P podmnožinou třídy PSPACE?
- Můžeme dokázat, že Np a P třída jsou stejné tím, že najdeme efektivní polynomické řešení pro jakýkoli NP úplný problém na deterministické TM?
- Jsou v PSPACE problémy, pro které není znám žádný NP algoritmus?
- Může být problém SAT úplným problémem NP?
- Může být problém ve třídě složitosti NP, pokud existuje nedeterministický Turingův stroj, který jej vyřeší v polynomiálním čase
- NP je třída jazyků, které mají polynomiální časové verifikátory
- Jsou P a NP vlastně stejnou třídou složitosti?
- Je každý bezkontextový jazyk ve třídě složitosti P?
- Existuje rozpor mezi definicí NP jako třídy rozhodovacích problémů s polynomiálními verifikátory a skutečností, že problémy ve třídě P mají také polynomiální verifikátory?
Podívejte se na další otázky a odpovědi ve Složitosti