Jaký je primární cíl stroje podpory vektorů (SVM) v kontextu strojového učení?

/ / Vyšlo v Umělá inteligence, Strojové učení EITC/AI/MLP s Pythonem, Podpora vektor stroj, Dokončení SVM od nuly, Přehled vyšetření

Primárním cílem podpůrného vektorového stroje (SVM) v kontextu strojového učení je najít optimální nadrovinu, která odděluje datové body různých tříd s maximální rezervou. To zahrnuje vyřešení problému kvadratické optimalizace, aby bylo zajištěno, že nadrovina nejen odděluje třídy, ale činí tak s největší možnou vzdáleností mezi nejbližšími datovými body jakékoli třídy, známými jako podpůrné vektory, a nadrovinou samotnou.

Podrobné vysvětlení

Koncept nadrovin a okrajů

V binárním klasifikačním problému, kde je cílem klasifikovat datové body do jedné ze dvou tříd, je nadrovina plochý afinní podprostor o jednu dimenzi menší, než je jeho okolní prostor. Například ve dvourozměrném prostoru je nadrovinou přímka, zatímco v trojrozměrném prostoru je to rovina. Rovnici nadroviny v n-rozměrném prostoru lze vyjádřit jako:

    \[ \mathbf{w} \cdot \mathbf{x} - b = 0 \]

kde \mathbf{w} je normální vektor k nadrovině, \mathbf{x} je bod na nadrovině a b je termín zkreslení.

Okraj je vzdálenost mezi nadrovinou a nejbližším datovým bodem z obou tříd. Cílem SVM je maximalizovat toto rozpětí, které lze matematicky vyjádřit jako:

    \[ \text{Margin} = \frac{2}{\|\mathbf{w}\|} \]

Problém s optimalizací

Aby toho bylo dosaženo, SVM řeší následující problém optimalizace:

1. Primární složení:

    \[ \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 \]

    \[ \text{subject to} \quad y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i - b) \geq 1 \quad \forall i \]

Zde, y_i představuje označení třídy i-tého datového bodu, který může být buď +1 nebo -1, a \mathbf{x}_i představuje i-tý datový bod.

2. Duální složení:

Primární problém lze převést do své duální podoby pomocí Lagrangeových multiplikátorů, což je často snazší vyřešit:

    \[ \max_{\alpha} \sum_{i=1}^{N} \alpha_i - \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{ N} \alpha_i \alpha_j y_i y_j \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j \]

    \[ \text{předmět} \quad 0 \leq \alpha_i \leq C \quad \text{and} \quad \sum_{i=1}^{N} \alpha_i y_i = 0 \]

Zde, \alpha_i jsou Lagrangeovy multiplikátory a C je regularizační parametr, který řídí kompromis mezi maximalizací marže a minimalizací chyby klasifikace.

Jaderný trik

V mnoha praktických scénářích nejsou data ve svém původním prostoru prvků lineárně oddělitelná. K vyřešení tohoto problému používá SVM trik s jádrem, který zahrnuje mapování původních dat do prostoru funkcí s vyšší dimenzí, kde se stávají lineárně oddělitelnými. Mezi běžně používaná jádra patří:

- Lineární jádro: K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j
- Polynomiální jádro: K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = (\gamma \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j + r)^d
- Jádro funkce radiální báze (RBF): K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \exp(-\gamma \|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j\|^2)
- Sigmoidní jádro: K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \tanh(\gamma \mathbf{x}_i \cdot \mathbf{x}_j + r)

Funkce jádra K(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) vypočítá vnitřní součin v prostoru transformovaných prvků bez explicitního provedení transformace, čímž je výpočet efektivnější.

Implementace SVM od nuly v Pythonu

Chcete-li implementovat SVM od nuly, musíte provést tyto kroky:

1. Inicializovat parametry:
– Inicializujte vektor hmotnosti \mathbf{w} a zaujatost b.
– Nastavte rychlost učení a počet iterací pro trénování.

2. Vypočítejte gradient:
– Pro každý datový bod vypočítejte gradient ztrátové funkce vzhledem k \mathbf{w} si b.

3. Aktualizovat parametry:
- Aktualizace \mathbf{w} si b pomocí gradientového sestupu nebo jakéhokoli jiného optimalizačního algoritmu.

4. Předvídat štítky třídy:
– Používat naučené \mathbf{w} si b předpovídat označení tříd nových datových bodů.

Zde je zjednodušený příklad implementace lineárního SVM od nuly v Pythonu:

python
import numpy as np

class SVM:
    def __init__(self, learning_rate=0.001, lambda_param=0.01, n_iters=1000):
        self.learning_rate = learning_rate
        self.lambda_param = lambda_param
        self.n_iters = n_iters
        self.w = None
        self.b = None

    def fit(self, X, y):
        n_samples, n_features = X.shape
        y_ = np.where(y <= 0, -1, 1)
        
        self.w = np.zeros(n_features)
        self.b = 0

        for _ in range(self.n_iters):
            for idx, x_i in enumerate(X):
                condition = y_[idx] * (np.dot(x_i, self.w) - self.b) >= 1
                if condition:
                    self.w -= self.learning_rate * (2 * self.lambda_param * self.w)
                else:
                    self.w -= self.learning_rate * (2 * self.lambda_param * self.w - np.dot(x_i, y_[idx]))
                    self.b -= self.learning_rate * y_[idx]

    def predict(self, X):
        approx = np.dot(X, self.w) - self.b
        return np.sign(approx)

# Example usage
if __name__ == "__main__":
    X = np.array([[1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5], [5, 6]])
    y = np.array([0, 0, 1, 1, 1])
    
    clf = SVM()
    clf.fit(X, y)
    predictions = clf.predict(X)
    print(predictions)

Aplikace v reálném světě

Support Vector Machines byly úspěšně aplikovány v různých oblastech díky jejich schopnosti zpracovávat vysokorozměrná data a jejich odolnosti proti přesazení, zejména v případech, kdy počet rozměrů převyšuje počet vzorků. Některé pozoruhodné aplikace zahrnují:

- Klasifikace textu: SVM jsou široce používány v úlohách klasifikace textu, jako je detekce spamu a analýza sentimentu, kvůli jejich účinnosti při manipulaci s řídkými a vysokorozměrnými daty.
- Rozpoznávání obrázků: V počítačovém vidění se SVM používají pro úlohy detekce objektů a klasifikace obrázků, přičemž využívají jejich schopnost pracovat s funkcemi jádra pro zpracování nelineárních vztahů.
- Bioinformatika: SVM se používají pro klasifikaci genů, proteinů a dalších biologických dat, kde jsou data často vysoce rozměrná a komplexní.
- Rozpoznávání rukopisu: SVM se také používají v systémech optického rozpoznávání znaků (OCR) ke klasifikaci ručně psaných znaků.

Výhody a nevýhody

Výhody:
- Efektivní ve vysokých dimenzích: SVM fungují dobře ve velkorozměrných prostorech a jsou účinné, i když počet rozměrů převyšuje počet vzorků.
- Výkon paměti: V rozhodovací funkci se používá pouze podmnožina trénovacích bodů (podporných vektorů), díky čemuž je paměť SVM efektivní.
- Všestrannost: Pomocí různých funkcí jádra lze SVM přizpůsobit různým typům dat a problémům klasifikace.

Nevýhody:
- Čas tréninku: SVM mohou být výpočetně náročné a pomalé na trénování, zejména u velkých datových sad.
- Výběr jádra: Výkon SVM silně závisí na volbě jádra a parametrech, což může vyžadovat rozsáhlé experimentování a křížové ověřování.
- interpretovatelnost: Výsledný model je často méně interpretovatelný ve srovnání s jinými algoritmy, jako jsou rozhodovací stromy.

Primárním cílem stroje Support Vector Machine je najít optimální nadrovinu, která maximalizuje rozpětí mezi různými třídami a zajišťuje robustní a přesnou klasifikaci. Toho je dosaženo vyřešením problému kvadratické optimalizace a v případě potřeby využitím triku jádra pro zpracování nelineárních dat. SVM prokázaly svou účinnost v různých aplikacích v reálném světě, ačkoli přicházejí s vlastní řadou výzev a úvah.

Další nedávné otázky a odpovědi týkající se Dokončení SVM od nuly:

Další otázky a odpovědi:

V rubrice: , , , , , ,